Если речь о входящих вызовах, то станция их не сохраняет (зависит от релиза станции и типа телефона - на новых релизах и на новых телефонах это есть. Либо использовать SIP телефоны при наличии лицензий).

На телефоне кнопка похожая на домик - это последний вызов. Если её подержать чуть дольше, то на телефоне появится список последних вызовов и выбором соответствующей кнопки можно повторить вызов.

Нет, команда ни на что не влияет. Она именно для этого и существует, чтоб в реальном времени смотреть сообщения в потоке Е1.

В терминальной программе, например Putty, после  подключения набираете команду  t3 - это запуск трассировки.
Там же командой help выводится меню команд по различным разделам. Команда mgr запускает меню для конфигурирования станцией. Команда swinst - работа с системными параметрами станции, сохранение и восстановление конфигурации.
Команда spadmin (пункт 2) показывает использование лицензий (сколько есть и сколько использовано).
Команда listerm (кристал) (плата) показывает номера, тип и состояние телефонов.

По 1 вопросу - средствами станции никак. Нужна внешняя железка и если она аналоговая, то лицензия на CLIP аналогового порта.
По 2 вопросу - это функция телефона.  

Конкретней вопрос - релиз станции, как подключена к городу, если есть трассировка - приложите.

В 12-м релизе появилось множество опций для внешнего SIP шлюза, например
Send user name in SIP + User name else user number
Можно поиграть этим параметром.